Σου γράφω γιατί έχω ένα πρόβλημα που μόνο η ομάδα των ειδικών σου μπορεί να μου λύσει. Βλέπεις όταν πήγαινα σχολείο δεν πρόσεχα στο μάθημα και έτσι δεν τα καταφέρνω καθόλου καλά με τους αριθμούς. Αλλά ας τα πάρουμε από την αρχή. Στην περιοχή που μένω έχουν την έδρα τους δύο ομάδες: ο ΄Ομιλος Φιλάθλων και ο Αθλητικός ΄Ομιλος. Αγωνίζονται στην ίδια κατηγορία εδώ και 30 χρόνια. Υπάρχουν φήμες ότι ο ΟΦ βοηθάει τον ΑΟ δίνοντάς του βαθμούς. Έψαξα στα αρχεία και βρήκα πως ο ΑΟ (που γενικά τερματίζει σε καλύτερες θέσεις στο πρωτάθλημα) παίρνει κάθε χρόνο κατά μέσο όρο 3,03 βαθμούς στα μεταξύ τους παιχνίδια, υπολογίζοντας 2 βαθμούς για κάθε νίκη και 1 βαθμό για κάθε ισοπαλία. Για να έχω ένα μέτρο σύγκρισης, έψαξα να βρω πόσους βαθμούς παίρνει ο ΑΟ από τους αγώνες του με τις ομάδες που τερματίζουν 1,2,3 ή 4 θέσεις πάνω ή κάτω από τον ΟΦ. ΄Ετσι έφτιαξα τον παρακάτω πίνακα:
| -4 | 2,48 |
| -3 | 2,19 |
| -2 | 2,81 |
| -1 | 2,71 |
| 0 | 3,03 |
| 1 | 2,90 |
| 2 | 3,17 |
| 3 | 3,03 |
| 4 | 3,48 |
Δηλαδή, ο ΑΟ παίρνει 2,48 βαθμούς από την ομάδα που τερματίζει 4 θέσεις πάνω από τον ΟΦ, 2,19 βαθμούς από την ομάδα που τερματίζει 3 θέσεις πάνω από τον ΟΦ και ούτω καθ' εξής. ΄Αρχισα να διαβάζω ένα βιβλίο Στατιστικής, αλλά έλεγε κάτι για σύνολα, για δειγματοχώρους και τέτοια και δεν έβγαλα άκρη. Εσύ τί συμπέρασμα βγάζεις;
΄Ενας αναγνώστης.
Αγαπητέ αναγνώστη,
Επειδή η κατηγορία είναι πολύ βαριά, θα εξαντλήσουμε όλες μας τις γνώσεις στη στατιστική. Πρώτα απ' όλα θα φτιάξουμε γραφική παράσταση με τους αριθμούς του πίνακα:
΄Οπως είναι αναμενόμενο, όσο χειρότερη είναι η θέση που καταλαμβάνει μία ομάδα, τόσο περισσότερους βαθμούς καταφέρνει να της αποσπάσει ο ΑΟ. Φυσικά αυτό δεν είναι απόλυτο, αλλά σε πρώτη προσέγγιση, μπορούμε να πούμε ότι τα σημεία βρίσκονται γύρω από τη μαύρη ευθεία γραμμή (η οποία, για τους πιο προχωρημένους, είναι η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων). Βλέπουμε πως το σημείο που αντιστοιχεί στον ΟΦ (δηλαδή στο 0) βρίσκεται πάνω από την ευθεία. Αυτό σημαίνει πως ο ΑΟ παίρνει περισσότερους βαθμούς από τον ΟΦ από όσο θα περιμέναμε με βάση την κατάταξη του ΟΦ. Αυτό όμως δεν αποδεικνύει τίποτε, όπως φαίνεται π.χ. από το δεύτερο σημείο (το οποίο δεν αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη ομάδα), το οποίο ξεφεύγει και αυτό από τον νόμο της ευθείας. Πρέπει να βρούμε ένα μέτρο για το πόσο τυχαία είναι η απόκλιση από την ευθεία. Αυτό εξαρτάται από το πόσο ξεφεύγουν γενικά τα σημεία από την ευθεία, δηλαδή τη διασπορά τους, και πόσο ξεφεύγει συγκεκριμένα το σημείο που εξετάζουμε. Μετά από μερικά λεπτά με την αριθμομηχανή και τους στατιστικούς πίνακες, βρίσκουμε ότι η πιθανότητα το σημείο που αντιστοιχεί στον ΟΦ να βρεθεί κατά τύχη εκεί που βρίσκεται ή ακόμα ψηλότερα είναι 20%, και αντίστοιχα η πιθανότητα να βρεθεί κατά τύχη εκεί που βρίσκεται ή ακόμα χαμηλότερα είναι 80%. Αυτή η τελευταία πιθανότητα ίσως να φαίνεται μεγάλη, αλλά δεν είναι αρκετή για να αποδείξει οριστικά οποιαδήποτε υπόθεση. Σκεφτείτε π.χ. ότι η πιθανότητα η μία από τις δύο ομάδες να έχει την υπεροχή που τώρα έχει ο ΑΟ (αν υποθέσουμε ότι όλα τα παιχνίδια ήταν καθαρά) είναι 40%, ενώ η πιθανότητα οι βαθμοί να ήταν πιο "δίκαια" μοιρασμένοι από ότι είναι τώρα, είναι 60%. Για να είμαστε ακόμα πιο σίγουροι, επειδή όπως είπαμε η κατηγορία είναι βαριά, επαναλάβαμε τη δοκιμή χωρίς να χρησιμοποιήσουμε το σημείο που αντιστοιχεί στον ΟΦ. Αυτό, επειδή στην περίπτωση που ο ΟΦ δεν ήταν "καθαρός" δεν θα ήταν σωστό να συνυπολογίσουμε τα αποτελέσματά του για να βρούμε τι είναι φυσιολογικό και τι όχι. Kαι σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα που βρίσκουμε είναι 20%. ΄Ενας ακόμα έλεγχος είναι να απορρίψουμε το σημείο που αποκλίνει περισσότερο από την ευθεία και να επαναλάβουμε τους υπολογισμούς. Το αποτέλεσμα παραμένει σχεδόν ίδιο. Τα συμπεράσματα που βγάζω είναι:
- Ο ΑΟ παίρνει από τον ΟΦ περισσότερους βαθμούς από το αναμενόμενο, αλλά αυτή η διαφορά δεν είναι στατιστικά σημαντική.
- Δεν υπάρχει κάποια συστηματική εύνοια του ΑΟ στους αγώνες του με τον ΟΦ, ή αν υπάρχει είναι τόσο μικρή που θα μπορούσε να συμβεί και τυχαία, άρα τζάμπα κάνουν τον κόπο να οργανώσουν την ζαβολιά.
